الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية

تلعب الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية دورًا مهمًا في الرياضيات، حيث تستخدم على نطاق واسع في الفيزياء، والهندسة، والاقتصاد، والعلوم البيولوجية، تعد الدالة الأسية امتدادًا لمفهوم الأسس، بينما تعتبر الدالة اللوغاريتمية معكوسها الرياضي وهذا المقال يهدف إلى شرح مفهوم الدوال الأسية واللوغاريتمية، خصائصها، قوانينها، تطبيقاتها، وأمثلة عملية لحل التمارين المختلفة.

أهداف الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية

1. التعرف على الدالة الأسية وفهم العلاقة بينهما.
2. تحديد خصائص والدالة اللوغاريتمية من خلال تحليل منحناها البياني.
3. استخدام القوانين الرياضية في تبسيط وحل المعادلات الأسية واللوغاريتمية.
4. التطبيق على مسائل حياتية وعملية مثل النمو السكاني، انحلال المواد المشعة، والفائدة المركبة.
5. حل تمارين على الدوال الأسية واللوغاريتمية لفهم المفاهيم الرياضية المتقدمة.

 تعريف الأسية واللوغاريتمية

الدالة الأسية (Exponential Function)

الدالة الأسية هي دالة تأخذ الشكل التالي:

f(x)=axf(x) = a^xf(x)=ax

حيث:

• aaa هو الأساس (عدد موجب حقيقي ≠ 1).
• xxx هو الأس.

خصائص الدالة الأسية:

 مجالها هو (−∞,∞)(-\infty, \infty)(−∞,∞) أي أنها معرفة لجميع الأعداد الحقيقية.
مداها هو (0,∞)(0, \infty)(0,∞)، أي أن قيمة المخرجات دائمًا موجبة.
تزايدية إذا كان a>1a > 1a>1، وتناقصية إذا كان 0<a<10 < a < 10<a<1.
المقطع عند yyy-المحور هو دائمًا (0,1)(0,1)(0,1) لأن a0=1a^0 = 1a0=1.

أمثلة على الدوال الأسية

• f(x)=2xf(x) = 2^xf(x)=2x
• g(x)=3xg(x) = 3^xg(x)=3x
• h(x)=0.5xh(x) = 0.5^xh(x)=0.5x

الدالة اللوغاريتمية (Logarithmic Function)

الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية، وتأخذ الشكل:

f(x)=log⁡a(x)f(x) = \log_a(x)f(x)=loga​(x)

حيث:

• aaa هو الأساس (عدد موجب حقيقي ≠ 1).
• xxx هو العدد الذي نريد حساب لوغاريتمه.

2. العلاقة بين الأسية واللوغاريتمية

بما أن اللوغاريتم هو العملية العكسية للأسس، فإن العلاقة الأساسية بين الدالتين هي:

ax=y⇔log⁡a(y)=xa^x = y \quad \Leftrightarrow \quad \log_a(y) = xax=y⇔loga​(y)=x

 مثال:
إذا كان:

23=82^3 = 823=8

فإن العلاقة اللوغاريتمية المكافئة تكون:

log⁡2(8)=3\log_2(8) = 3log2​(8)=3

 مثال آخر:
إذا كان:

104=1000010^4 = 10000104=10000

فإن:

4. تطبيقات عملية على الدوال الأسية واللوغاريتمية

 النمو السكاني ويستخدم النموذج الأسّي لتمثيل زيادة عدد السكان:

P(t)=P0ertP(t) = P_0 e^{rt}P(t)=P0​ert

حيث P0P_0P0​ هو عدد السكان في البداية، و**rrr** معدل النمو، و**ttt** الزمن.

 انحلال المواد المشعة ويستخدم اللوغاريتم لحساب نصف عمر العناصر المشعة:

N(t)=N0e−λtN(t) = N_0 e^{-\lambda t}N(t)=N0​e−λt

حيث λ\lambdaλ هو ثابت الانحلال.

 حساب الفائدة المركبة في الاقتصاد ويستخدم اللوغاريتم لحل المعادلات الخاصة بالفائدة المركبة:

A=P(1+r/n)ntA = P(1 + r/n)^{nt}A=P(1+r/n)nt

حيث AAA هو المبلغ النهائي، وPPP المبلغ الأصلي، وrrr معدل الفائدة، وnnn عدد الفترات، وttt الزمن.

 الصوت والزلازل (مقياس ريختر) ويتم حساب شدة الزلازل باستخدام اللوغاريتمات:

M=log⁡(I/I0)M = \log(I/I_0)M=log(I/I0​)

حيث MMM هو مقياس الزلزال، وIIIهو شدة الاهتزاز.

 تمارين من الملف

يحتوي الملف على تمارين متعددة مثل:

• تمرين (1) – الشريحة 8: حساب قيم الدوال الأسية واللوغاريتمية.
• تمرين (2) – الشريحة 9: استخدام القوانين اللوغاريتمية لتبسيط المعادلات.
• تمرين (4) – الشريحة 13: تطبيقات عملية على الدوال الأسية واللوغاريتمية.
• التقويم الختامي – الشريحة 16: اختبار مدى فهم الطالب للدرس.

تعد الدوال الأسية واللوغاريتمية من المواضيع المهمة في الرياضيات، حيث يتم استخدامها في الفيزياء، الاقتصاد، الإحصاء، والهندسة ومن خلال فهم القوانين الأساسية وحل التمارين المختلفة، يمكن للطلاب استخدام هذه الدوال في تطبيقات حقيقية وحل مشكلات عملية معقدة.

لمزيد للصف الحادي عشر ما يلي:

• كراسة الطالب الوحدة السادسة الصف الحادي عشر رياضيات أساسية اعداد وليد نادي
• مادة العلوم البيئية الصف الحادي عشر
• رياضيات الحادي عشر