تعد التوافيق للصف الحادي عشر للفصل الثاني أحد المفاهيم الأساسية في علم الاحتمالات والإحصاء، حيث تستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من العناصر دون الاهتمام بالترتيب، على عكس التباديل، التي يكون فيها ترتيب العناصر مهمًا، تعتمد التوافيق فقط على اختيار العناصر بغض النظر عن ترتيبها ويهدف هذا الدرس إلى توضيح مفهوم التوافيق، عرض القوانين الأساسية لحسابها، وتقديم أمثلة عملية وتمارين لحل المسائل المختلفة المتعلقة بها.
أهداف التوافيق للصف الحادي عشر للفصل الثاني
- التعرف على مفهوم التوافيق وفهم الفرق بينها وبين التباديل.
- تطبيق القانون الأساسي للتوافيق: C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!(n−r)!n!
- فهم العلاقة بين التوافيق والتباديل من خلال أمثلة عملية.
- حل مسائل وتمارين حول التوافيق باستخدام قوانينها الأساسية.
- تطبيق مفهوم التوافيق في مسائل حياتية مثل تشكيل الفرق، توزيع المقاعد، اختيار اللجان، وغيرها.
- تنمية مهارات التفكير المنطقي وحل المشكلات من خلال التمارين العلاجية والإثرائية.
1. تعريف التوافيق
التوافيق هي طريقة لاختيار مجموعة من العناصر من بين مجموعة أكبر دون الاهتمام بالترتيب، يتم حسابها باستخدام الصيغة التالية:
C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!(n−r)!n!
حيث:
- nnn هو العدد الكلي للعناصر.
- rrr هو عدد العناصر المختارة.
- !!! تعني المضروب (Factorial).
الفرق بين التوافيق والتباديل
- التباديل (Permutations): تُستخدم عندما يكون ترتيب العناصر مهمًا. P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!
- التوافيق (Combinations): تُستخدم عندما لا يكون الترتيب مهمًا. C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!(n−r)!n!
مثال توضيحي:
إذا كان لدينا 5 طلاب ونريد اختيار 3 منهم:
- إذا كان الترتيب مهمًا، نستخدم التباديل: P(5,3)=5!(5−3)!=5×4×31=60P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{1} = 60P(5,3)=(5−3)!5!=15×4×3=60
- إذا لم يكن الترتيب مهمًا، نستخدم التوافيق: C(5,3)=5!3!(5−3)!=5×4×33×2×1=10C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10C(5,3)=3!(5−3)!5!=3×2×15×4×3=10
إذن، عدد الطرق الممكنة لاختيار 3 طلاب دون ترتيب هو 10 فقط، بينما يكون 60 إذا كان الترتيب مهمًا.
اختيار فريق رياضي
كم عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 لاعبين من بين 8 للانضمام إلى فريق؟
الحل:
C(8,4)=8!4!(8−4)!=8×7×6×54×3×2×1=70C(8,4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70C(8,4)=4!(8−4)!8!=4×3×2×18×7×6×5=70
إذن، هناك 70 طريقة مختلفة لاختيار 4 لاعبين من بين 8.
تمارين من الملف:
يحتوي الملف على عدة تمارين وأمثلة، مثل:
- تمرين (1) – صفحة 7 ويطلب من الطلاب حساب عدد التوافيق لاختيار مجموعة من العناصر من بين عدد معين.
- تمرين (4) – صفحة 9 ويتضمن مسائل على اختيار عناصر مع تطبيق الصيغة الرياضية المناسبة.
- تمرين (2) – صفحة 11 و 12 وتمارين إضافية تساعد في ترسيخ فهم التوافيق من خلال مسائل حياتية.
- التقويم الختامي – صفحة 19 ويشمل أسئلة تقويمية لتقييم مدى فهم الطالب للدرس.
- تفريد التعليم (إثرائي) – صفحة 20 مسائل متقدمة لتعميق الفهم وتحفيز التفكير الرياضي.
أهمية التوافيق في الحياة العملية
يتم استخدام التوافيق في العديد من المجالات، مثل:
- الإحصاء وتحليل البيانات: حساب الطرق الممكنة لاختيار عينات من مجموعة كبيرة.
- إدارة المشاريع: تخطيط الفرق والموارد المتاحة لاختيار الفرق المثالية.
- الطب الحيوي: تحليل التجارب السريرية وتحديد العينات المناسبة للاختبارات.
- البرمجة وعلوم البيانات: تحليل البيانات الضخمة واختيار المتغيرات المهمة.
تعد التوافيق من أهم المفاهيم في علم الاحتمالات، حيث تساعد في حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار عناصر من مجموعة دون ترتيب. يتم استخدامها في مجالات واسعة، من التخطيط والتنظيم إلى تحليل البيانات واتخاذ القرارات ويحتوي الملف على شروحات مبسطة، أمثلة محلولة، تمارين تطبيقية، وأسئلة تقييمية تساعد الطلاب على فهم واستيعاب التوافيق بشكل عملي، مما يجعل هذا الدرس أساسًا هامًا في فهم الاحتمالات والإحصاء.
لا تعليق